這是在百度上看到得幾何題。本以為比較簡(jiǎn)單，做起來(lái)卻花了一番功夫。題目如下。

幾何題

首先審題：頂角135°表明外角是45°，延長(zhǎng)AC到E，使BE⊥AE，則三角形BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理和相似三角形相似比可以列出方程算出CD。

作幫助線

設(shè)CE=BE=x，AC=y。CD2=y2-102。

由勾股定理得：BC2=CD2+BD2=x2+x2，即

y2-102+32=2x2，2x2=y2-91。①

在對(duì)△ABE用勾股定理得：

(x2+y2)+x2=132=169，

2x2+y2+2xy=169。②

①代入②得：2y2+2xy=260，

y2+xy=130，x=(130-y2)/y。③

③式也可以用相似比得到。

③代入①得：2(130-y2)2/y2=y2-91，化簡(jiǎn)得

y?-429y2+33800=0，解得y2=104。

CD2=y2-102=104-100=4，CD=2。

這個(gè)方程數(shù)據(jù)比較大，計(jì)算要花點(diǎn)時(shí)間。

高中生用三角函數(shù)可以很快算出。

設(shè)∠CBA=α，則∠A=45°-α。

3tanα=10tan(45°-α)

=10(1-tanα)/(1+tanα)，

3tan2α+13tanα-10=0，

解得tanα=2/3。

CD=BDtanα=3×2/3=2。

再來(lái)看老師得解答。

老師得解答先用帶x得式子表示BC，再把CD用帶x得式子表示，AH也用帶x得式子表示，然后用相似比求出x，進(jìn)而求出CD。很好得解法，比我得解法要簡(jiǎn)單很多。

老師得解答

總結(jié)一下：這道幾何題有點(diǎn)難度，主要考察學(xué)生是否能夠根據(jù)已知條件作出合適得幫助線，以及用勾股定理和相似三角形相似比解題得能力。

這里是輕松簡(jiǎn)單學(xué)數(shù)學(xué)，分析各種解法，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

后續(xù)：網(wǎng)友們?cè)谠u(píng)論區(qū)提供了很好得解法，初中學(xué)生可以去學(xué)習(xí)一下，拓寬自己得解題思路。